〈書摘〉用機率看選舉，經濟學家提出「不可能定律」破除完美公平選舉迷思

公平的定義到底是甚麼？如何才能在審判或是選舉當中讓參與者心服口服？阿羅的「不可能定律 (Arrow’s Impossibility Theorem)」潑了我們一盆冷水，告訴我們要探討、設計一個理想完美的選舉辦法是不可能的。泛知識時代的 7 堂課，帶你探討論證選舉體制的爭議。

以下內容摘錄自《泛知識時代的 7 堂課》

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用機率分析打一場選戰

十八世紀時，法國數學家拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace) 提出用機率的觀念來分析選舉，也就是做決定的過程。他以陪審團的評審制度做為例子，在許多歐美國家的法律審判制度中，有法官審判 (Bench Trial) 和陪審團審判 (Jury Trial) 兩種方式。簡單來說，法官審判是由一位法官聆聽原告和被告提出的證據和理由，做出有罪或無罪的判決；陪審團審判是由若干個陪審員取代法官的職責（雖然往往是先由陪審團做出有罪、無罪的決定，如果有罪，再由法官量刑）。

陪審團通常由七十二個陪審員組成，陪審員都是普通的老百姓，因為陪審團的精神正是由公眾做有罪、無罪的判決。審判的時候，陪審員按照自己的判斷，對被告投下有罪或無罪的票，全體陪審員投票的結果就決定被告的罪名是否成立。重要的關鍵問題是，應該需要多少張有罪或無罪的票才能決定罪名是否成立？

目前美國的陪審團制度一共有十二個陪審員，必須全部一致同意才能決定罪名是否成立；英國的陪審團制度一共有十二個陪審員，必須有十票以上才能決定罪名是否成立；蘇格蘭的陪審團制度一共有十五個陪審員，但是只要八票就足以決定罪名是否成立。美國和英國的陪審制度中，會有陪審團懸而不決 (hung jury) 的可能，這個時候在法律上的程序是複審。蘇格蘭的制度是多數決，因此不會有陪審團懸而不決的可能。

法國數學家康多色提出一個合理且嚴格的標準，真正的勝利者是在所有一對一對決中都獲得勝利的候選人，因此也叫做「康多色勝利者」。其中有幾個有趣的問題：第一，最明顯的問題是，按照選舉人的排序，經過單循環對決後，如果沒有「康多色勝利者」該怎麼辦？我們可以像棒球比賽一樣，讓得分最多的候選人當選；或是和足球比賽相似，在一對一對決的時候，用得票的多寡來做考量。

道奇森倒提出了一個不同的想法：當所有的選舉人都完成排序，計算結果沒有「康多色勝利者」時，我們可以想辦法收買選舉人改變他們的排序。假設收買一個選舉人，在他的排序中交換二個相鄰候選人的位置，價格是一塊錢，需要付出最低價而變成「康多色勝利者」的候選人就獲勝當選。

讓我們看一個例子，四個候選人 A、B、C、D，十一個選舉人的排序分別是：{A, D, C, B}、{A, D, C, B}、{A, B, D, C}、{A, B, D, C}、{B, C, A, D}、{B, C, A, D}、{B, D, C, A}、{C, B, D, A}、{C, B, D, A}、{C, B, D, A}、{D, C, B, A}，單循環對決的結果是：

如果第一個選舉人把排序從 {A, D, C, B} 改成 {A, C, D, B}，C 就是「康多色勝利者」；如果第十一個候選人把排序從 {D, C, B, A} 改成 {D, B, C, A}，B 就是「康多色勝利者」。

但普遍來說，候選人找出如何用最低的價錢收買哪些選舉人，請他們如何改變排序，讓自己變成「康多色勝利者」，站在演算的觀點來說，是相當複雜的一件事，用算法複雜度的語言來說，那是一道 NP 完全 (NP-Complete) 的題目。

許多不同的選舉辦法，再加上其中可能的調整和變化，大家一定覺得每一個選舉辦法都有理由，也包含爭議的地方。不過 1972 年的諾貝爾經濟學獎得主阿羅 (Kenneth Arrow)〔註 15〕，在 1951 年的博士論文中，潑了我們一盆冷水，告訴我們要探討、設計一個理想完美的選舉辦法是不可能的。阿羅博士論文的研究結果，正是他獲得諾貝爾獎的一部分原因。

阿羅的「不可能定律 (Arrow’s Impossibility Theorem)」是這樣說的：首先，假設有三個或三個以上的候選人（因為只有二個候選人的案例比較簡單），有 n 個選舉人，每個選舉人按照自己的判斷進行排序，因此選舉辦法就是如何按照這 n 個選舉人的排序得到結論，也就是選舉的結果。

用社會科學裡簡單的語言來說，社會上的每一分子都有對若干事件重要性的先後排序，例如在政府經費的分配中，教育、醫療、交通、康樂活動的排序，選舉結果就是綜合大家意見的排序。用專家的語言來說，社會上每一分子有其「個人效用函數 (individual utility function)」，選舉就是從所有人的「個人效用函數」求出整個「社會效用函數 (social utility function)」。

舉個簡單的例子來說明這些觀念，假如有三個候選人，八個選舉人，對候選人的排序分別是 {A, B, C}、{A, B, C}、{A, B, C}、{A, B, C}、{A, B, C}、{A, C, B}、{C, A, B}、{C, B, A}，用排序決做為選舉辦法，選舉的結果是 {A, B, C}；用汰弱留強的選舉辦法，選舉的結果是 {A, C, B}。但是阿羅提出一個選舉辦法必須滿足三個公平合理的標準：

一、 每個選舉人都把 A 排在 B 前面，選舉的結果必須也把 A 排在 B 前面。

二、 每個選舉人都不改變 A 和 B 在排序中的相對位置（A 比 B 高或 B 比 A 高），不管如何改變其他候選人在排序中的位置，選舉的結果，A 和 B 的相對位置都會一樣；換句話說，在選舉的結果中，A 和 B 的相對位置不受其他候選人的位置干擾。

三、 選舉辦法不容許選舉人中有獨裁者，獨裁者的定義是，不管其他選舉人的排序如何改變，選舉的結果一定是一個特定選舉人的排序，直覺來說，第三點是合乎情理的條件。

但是阿羅證明滿足這三個條件的選舉辦法不可能存在！例如選舉的結果可能包含一個三角循環，因此必須剔除某些候選人對決的結果，來打破這些循環；也可能因為加入一個弱不足道的候選人，而改變選舉的結果，這些都違反了阿羅所訂定的標準。雖然我們不可能在這裡證明阿羅的不可能定律，其實他原來的證明只有八頁，有興趣的讀者可以去把這些證明找出來細讀（後來也有人提出不同的證明方法）。

不過我們也不必完全絕望，放棄繼續尋找合乎阿羅三個標準的選舉辦法，讓我舉二個例子，當然這些例子都是調整、改變過阿羅原來設定的條件。

第一個例子是，如果按照阿羅原來的定義，選舉人對候選人的排序沒有任何限制，會產生一個特例：首先，所有候選人有一個「自然」的排列順序，在這個排序中，選舉人指定一個候選人做為首選，接下來在這個排列中，和首選候選人距離愈近的候選人，排序愈高，距離愈遠的候選人，排序愈低。舉個具體的例子，在欣賞音樂的時候，每個人對音量大小有不同的意見，

首先，音量大小有一個自然的排列順序，由最大的音量到最小的音量，選舉人就在這個自然的排列順序中，選出首選的音量，次選比首選音量大一點，三選比首選音量小一點，四選則是再更大一點的音量，五選是再更小一點的音量，這種方式叫做單峰排序 (Single Peak Preference Theory)。當所有選舉人的排序都是單峰排序時，多數決是滿足阿羅三個標準的選舉辦法。

第二個例子是，選舉人不單單把候選人排序，還替他們打分數，例如從 0 到 9；選舉的辦法是，把所有候選人得到的分數加起來，按照總分排列，這叫做得分選舉，雖然滿足了阿羅的三個標準，但是卻超出他原來對選舉方法下的定義，按此定義，選舉人只能對候選人排序，不能打分數。有關阿羅的不可能定律的文獻非常豐富，還有很大的空間值得去探討。

【書籍介紹】

• 書名：泛知識時代的 7 堂課：邁向選舉、密碼、商業交易的新思路
• 出版社：時報
• 出版日期：2019 年 02 月

【作者介紹】

劉炯朗
 
　　麻省理工學院電腦博士。
 
　　為國際知名的電腦資訊學者，在即時系統、電腦輔助設計、VLSI 布局、組合最佳化、離散數學等領域均有傑出之貢獻，是國際上聲譽卓著的科學家、教育家。曾先後當選中央研究院院士、電子電機工程師學會（IEEE）會士、計算機協會（ACM）會士。
 
　　曾任教於麻省理工學院及伊利諾大學，1998 至 2002 年間擔任臺灣國立清華大學校長，作育英才無數。於 1968 年出版之組合數學及 1977 年出版（1985 年再版）之離散數學教科書，被視為經典之作。1973 年發表於 Journal of the ACM 之論文，截至 2019 年被引用達一萬一千餘次，影響極大。
 
　　
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